OPERACIONES CON INTERVALOS.

Comentario:

Operaciones con intervalos


Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán intervalos.
Debido a su gran utilidad en esta unidad, las operaciones que nos interesa definir aquí son: la intersección, la unión y la diferencia de conjuntos.




Unión.

 
  Definición
Sean $A$ y $B$ y conjuntos. Se define la unión de $A$ y $B$ y se denota $A \cup B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos $A$ y $B$.
Simbólicamente se tiene que: $A \cup B = \{x/x \in A \; \; \mbox{ o }\; \; x \in B \}$


Ejemplo
Si $A = [-3,4]\; \; $ y $\; \; B = [-1,7]$.Determine $A \cup B$
Solución 
Representaremos a $A$ y a $B$ geométricamente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en $A$ o en $B$, son los números reales que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así:
\begin{displaymath}A \cup B = \; [-3,4] \; \; \cup \; \; [-1,7] \; = \; [3,7]\; \; \mbox{ o sea } \; \; A \cup B = \; [3,7]\end{displaymath}
Intersección.

  Definición
Sean $A$ y $B$ conjuntos. Se define la intersección de $A$ y $B$ y se denota $A \cap B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen a $A$ y también a $B$.
Simbólicamente se tiene que:  
Ejemplo

 Si $A = [0,5] \; \;$ y $B = [2,7]$.  Determine $A \cap B$ 
Solución 
Geométricamente podemos representar los conjuntos $A$ y $B$ de la manera siguiente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en $A$ y también en $B$ son los números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que:

\begin{displaymath}A \cap B = [0,5] \cap [2,7] = [2,5] \; \; \mbox{ o sea: } \; \; A \cap B = [2,5] \end{displaymath}
Diferencia.

  Definición
Sean $A$ y $B$ conjuntos. Se define la diferencia de $A$ y $B$ y se denota $A - B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen a $A$ y no a $B$.
Ejemplo   
Si $A = \;\mathbb{R}\; \;$ y $\; \; B = [-2,3[ $, determine $A - B$ y $B - A$ 
Solución
Representemos a $A$ y a $B$ geométricamente.

De aquí podemos observar que:

 i. $\; A - B =\;\; \mathbb{R}- [-2,3[\;\; =\;\; ]-\infty,-2[\;\; \cup \;\;[3,+\infty[$
$A - B =\;\; ]-\infty,-2[\;\; \cup \;\;[3,+\infty[$ 
ii. $B - A = [-2,3[ - \mathbb{R}= \emptyset$; o sea: $B - A = \emptyset$ 

Video:               Unión

                               Intersección


                             Diferencia

Prueba Estandarizada:

 1. Si $A = \;\; ]-3,5[ \; \; $ y B= [2,8] Determine $A \cup B$ 

 a)  ]-3,2[

 b) ]-3,8]

 c) [-3,8[

 d) [-3,8]
2. Si $A = \; \{2,4,6,8,10 \} \; \;$ y $\; \; B = \{1,2,3,4,5 \} $. Determine $A - B$ y $B - A$ 

 a) $A - B = \{6,8,10\}$ y  $B - A = \{1,3,5\}$

 b) A-B= {6,7,10} Y B-A= {1,5}

 c) A-B= {6,7,10} Y B-A= {1,3,5}

 d) A-B= {6,7,10} Y B-A= {1,5,6}
3. Si $A = [0,5] \; \;$ y $B = [2,7]$. El $A \cap B$ es [2,5]:

 a) Verdadero.

 b) Falso.



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